MATEMATIKA : Himpunan

Cara Menyatakan Himpunan

PENGERTIAN

Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang keanggotaannya didefinisikan dengan jelas.

Contoh:

• Himpunan siswi kelas III SMU Tarakanita tahun 1999-2000 yang nilai IQ-nya diatas 120.
• Himpunan bilangan-bilangan bulaT diantara 10 dan 500 yang habis dibagi 7

Himpunan hanya membicarakan objek-objek yang berlainan saja.

Metode Roster
yaitu dengan menuliskan semua anggota himpunan di dalam
tanda kurung {...........}
contoh: himpunan bilangan ganjil N = {1,3,5,7,9,.......}

Metode Rule
yaitu dengan menyebutkan syarat keanggotaannya
contoh: N = {x½x adalah bilangan asli}

 

 Istilah-Istilah

1. Elemen (Anggota)                               notasi : Î
   setiap unsur yang terdapat dalam suatu himpunan disebut
   elemen/anggota himpunan itu.
   contoh:
   A ={a,b,c,d}
   a Î A (a adalah anggota himpunan A)
   e Ï A (e bukan anggota himpunan A)
   
   
   
2. Himpunan kosong  9999999999999notasi : f atau {}
   yaitu himpunan yang tidak mempunyai anggota
   contoh :
   A = { x | x² = -2; x riil}
   A = f
   
   
   
3. Himpunan semestafgf fgfgfgfggffgfnotasi : S
   yaitu himpunan yang memuat seluruh objek yang dibicarakan
   contoh :
   K = {1,2,3}
   S = { x | x bilangan asli } atau
   S = { x | x bilangan cacah } atau
   S = { x | x bilangan positif } dsb.

 Hubungan Antar Himpunan

1. Himpunan bagian                                     notasi : Ì atau É
   
   Himpunan A adalah himupnan bagian dari himpunan B, jika setiap anggota A adalah anggota B.
   
   Ditulis : A Ì Bf atau B É A
   
   contoh:
   A={a,b}; B={a,b,c}; C={a,b,c,d}
   maka A Ì B ; A Ì C ; B Ì C
   
   ketentuan :
   
   
   • himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari sembarang
   • himpunan ( f Ì A )himpunan A adalah himpunan bagian dari
   • himpunan A sendiri ( A Ì A)jika anggota himpunan A ada sebanyak n, maka banyaknya himpunan bagian dari A adalah HB = 2n
     
   
   HB = 2n
   
   contoh:
   jika A = {a,b,c}
   maka himpunan bagian dari A adalah :
   {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c} dan f
   
   seluruhnya ada 2³ = 8
   
   POWER SET 2s
   himpunan yang elemennya adalah himpunan-himpunan bagian dari S
   
   contoh:
   S = {a,b,c}
   2s = { {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}, f }
   
   
   
2. Himpunan sama ttttttttttt                      notasi : =
   
   Dua himpunan A dan B adalah sama, jika setiap elemen A adalah elemen B, dan setiap elemen B adalah elemen A.
   
   Ditulis A = B
   
   contoh:
   K = {x | x²-3x+2=0}
   L = {2,1}
   maka K = L
   
   
   
3. Himpunan lepas ttttttttttt                      notasi : //
   
   Dua himpunan A dan B disebut saling lepas, jika himpunan A tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan B.
   
   Ditulis A // B
   
   contoh:
   A = {a,b,c}
   B = {k,l,m}
   Maka A // B

Read more...

MATEMATIKA : Persamaan Kuadrat

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Bentuk umum : ax² + bx + c = 0

x variabel;  a,b,c konstanta ; a ¹ 0

Menyelesaikan persamaan kuadrat berarti mencari harga x yang memenuhi persamaan kudrat (PK) tersebut (disebut akar persamaan kuadrat). Suatu bilangan disebut akar dari suatu persamaan berarti bilangan tersebut memenuhi persamaan.

Andaikan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka x1 dan x2 dapat ditentukan dengan cara

1. Memfaktorkan
   
   ax² + bx + c = 0 ® ax² + bx + c = 0 ® a (x + p/a) (x + p/a) = 0
   ® x1 = - p/a dan x2 = - q/a
   
   dengan p.q = a.c dan p + q = b
   
   
2. Melengkapkan bentuk kuadrat
   persamaan kuadrat tersebut dibentuk menjadi
   (x + p)² = q² ® x + p = ± q
   x1 = q - p dan x2 = - q - p
   
   
3. Rumus ABC
   ax² + bx + c = 0 ® X1,2 = ( [-b ± Ö(b²-4ac)]/2a
   
   bentuk (b² - 4ac) selanjutnya disebut DISKRIMINAN (D) sehingga
   sehingga X1,2 = (-b ± ÖD)/2a

 Kemungkinan Jenis Akar Ditinjau Dari Nilai Diskriminan

1. D > 0
   
   x1 = (-b+ÖD)/2a ; x2 = (-b-ÖD)/2a
   
   PK mempunyai dua akar nyata berbeda
   
   
   
2. D = 0
   
   x1 = x2 = -b/2a
   
   PK mempunyai dua akar nyata yang sama
   
   tt
   
3. D < 0
   
   Tidak ada harga x yang memenuhi, PK tidak mempunyai akar nyata.

syarat akar nyata/ada/riil : D ³ 0

Sifat-Sifat Akar Persamaan Kuadrat

Misalkan persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dengan x1 dan x2 adalah akar-akarnya.

Dengan menggunakan akar-akar persamaan kuadrat dari rumus ABC, yaitu:

X1 = (-b+ÖD)/2a dan X2 = (-b-ÖD)/2a

didapat hubungan

X1 + X2 = -b/a

X1.X2 = c/a

X1 - X2 = ÖD/a

Read more...

MATEMATIKA : Pertidaksamaan

Sifat-Sifat

Antara dua bilangan a dan b terdapat hubungan :

a > b ; a = b atau a < b

a > b ® a - b > 0
a = b ® a - b = 0
a < b ® a - b < 0

prinsip: nilai bilangan harus jelas positif, nol atau negatif

a + b < c ® a + b - c < 0

atau

c-a-b>0

Ditambah/Dikurangi dengan bilangan yang sama

a < b ®	{	a + c < b + c
		a - c < b - c

Dikali/Dibagi dengan bilangan positif yang sama

a < b	}	®	{	ac < bc
c > 0				a/c < b/c

Tanda tetap

Dikali/dibagi dengan bilangan negatif yang sama

a < b	}	®	{	ad > bd	TANDA BERUBAH
d < 0				a/d > b/d

Pangkat Genap

a > 0 ; b > 0	}	®	a² < b²     TANDA TETAP
a < b

a < 0 ; b < 0	}	®	a² > b²     TANDA BERUBAH
a < b

Pangkat Ganjil

a < b ®	{	a³ < b³	® TANDA TETAP
		a5 < b5
		a7 < b7

Kebalikan

a > 0 ; b > 0	}	®	1/a > 1/b     TANDA BERUBAH
a < b

a < 0 ; b < 0	}	®	1/a > 1/b     TANDA BERUBAH
a < b

Garis Bilangan  

Dipergunakan untuk mengetahui nilai (+/-) suatu fungsi pada interval tertentu.

Batas pada garis bilangan didapat dari harga nol fungsi (angka yang menjadikan fungsi bernilai 0), sehingga fungsi bernilai nol pada batas tersebut, dan bernilai (+/-) pada interval lainnya.

Untuk menentukan nilai (+/-) suatu fungsi dalam suatu interval, langkah pertama adalah mencari nilai nolnya sebagai batas interval pada garis bilangan, kemudian substitusi sembarang bilangan yang mewakili suatu interval.

Untuk memudahkan mengetahui daerah (+/-) biasanya dicek angka 0 atau daerah yang diuji adalah daerah paling kanan (bilangan besar sekali) sehingga tanda (+/-) cukup dengan melihat hasil perkalian/pembagian tanda dari koefisien variabel.

Bila hasil substitusi tersebut bernilai positif maka interval di mana bilangan itu berada adalah juga bernilai positif, bila hasil substitusi tersebut bernilai negatif maka interval di mana bilangan itu berada juga bernilai negatif.

Cara Menentukan Penyelesaian Beberapa Garis Bilangan

1. UNTUK BATAS TUNGGAL

f(x) = (x - a) (x - b)

f(x) < 0 untuk a < x < b
f(x) > 0 untuk x < a atau x > b

HAL KHUSUS
Bila koefisien x² adalah (+), dan dapat difaktorkan, maka perubahan tanda adalah sebagai berikut: (+)     |      (-)      |     (+)	Bila koefisien x² adalah (-), dan dapat difaktorkan, maka perubahan tanda adalah sebagai berikut : (-)     |      (+)      |     (-)

2. UNTUK BATAS RANGKAP

f(x) = (x - a)² (x - b)	f(x) = (x - a) (x - b)²
(-)      ||     -     |     (+)           a         b	(-)      |     -     ||     (+)          a        b
f(x) < 0 untuk x < b ; x ¹ a f(x) > 0 untuk x > b	f(x) < 0 untuk x < a f(x) untuk x > a ; x ¹ b

Ket :

bila melewati batas tunggal (rangkap ganjil) maka tanda pada interval berikutnya berubah, bila melewati batas rangkap genap maka tanda pada interval berikutnya tetap.

Read more...